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Rectas paralelas

Observa la siguiente figura con dos rectas paralelas. Si las rectas $r$ y $s$ son paralelas, entonces escribimos $r \parallel s$ .

Según los vectores directores: Dos rectas son paralelas si el vector director de una es el vector director de la segunda, multiplicado por un número $a \neq 0$ . Es decir,

$\displaystyle \vec{u} = a \vec{v}$

De esta manera, si $\vec{u} = (u_1, u_2)$ y $\vec{v} = (v_1, v_2) = (au_1, au_2)$ , entonces las rectas serán paralelas si

$\displaystyle \frac{v_1}{v_2} = \frac{au_1}{au_2} = \frac{u_1}{u_2}$

Esta es una forma de determinar si dos rectas son paralelas a partir de sus vectores directores.

Según la pendiente de las rectas: Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente, es decir,

$\displaystyle m_r = m_s$

Como la pendiente de una recta $Ax + By + C = 0$ se calcula mediante $m = - A / B$ , entonces dos rectas

$\begin{align*} s: A_1 x + B_1 y + C_1 & = 0\\ r: A_2 x + B_2 y + C_2 & = 0 \end{align*}$

Serán paralelas si se cumple que,

$\displaystyle m_1 = -\frac{A_1}{B_1} = - \frac{A_2}{B_2} = m_2$

Es decir, —después de cancelar el signo—,

$\displaystyle \frac{A_1}{B_1} = \frac{A_2}{B_2}$

La cual es la manera de determinar que dos rectas son paralelas a partir de su ecuación general.

Rectas perpendiculares

Ahora observa las siguientes rectas perpendiculares. Las rectas perpendiculares forman un ángulo de $90^{\circ}$ entre ellas. Asimismo, si $r$ y $s$ son perpendiculares, entonces escribimos $r \perp s$ .

Según los vectores directores: Dos rectas son perpendiculares si sus vectores directores son perpendiculares:

$\displaystyle \vec{v_r} \cdot \vec{v_s} = 0$

El cual representa el producto interior de $\vec{v_r}$ y $\vec{v_s}$ .

Según la pendiente de las rectas: Por otro lado, si dos rectas son perpendiculares, entonces el producto de sus pendientes es igual a $-1$ . Es decir,

$\displaystyle m_s \cdot m_r = -1$

Lo cual es equivalente a que

$\displaystyle \left( - \frac{A_1}{B_1} \right) \cdot \left( - \frac{A_2}{B_2} \right) = -1$

Es decir,

$\displaystyle - \frac{A_1}{B_1} = \frac{B^2}{A_2}$

Esta es una manera de determinar que dos rectas son perpendiculares.

Ejemplos de problemas con rectas paralelas y perpendiculares

1 Hallar una recta paralela y otra perpendicular a $r: x + 2y + 3 = 0$ , que pasen por el punto $A(3, 5)$ .

Solución: Primero determinaremos la recta paralela $s$ . Se debe tener que

$\displaystyle m_r = m_s = -\frac{1}{2}$

De esta forma, la ecuación punto-pendiente de $s$ está dada por

$\displaystyle y - 5 = -\frac{1}{2}(x - 3)$

Por lo que, al despejar para escribir en su forma normal tenemos

$\displaystyle x + 2y - 13 = 0$

Ahora buscaremos la recta perpendicular $t$ . En este caso debemos tener que

$\displaystyle m_r \cdot m_t = -1 \qquad \to \qquad m_t = -\frac{1}{m_r} = 2$

De esta forma, la ecuación punto-pendiente de $t$ está dada por,

$\displaystyle y - 5 = 2(x -3)$

Al despejar, obtenemos,

$\displaystyle 2x - y - 1 = 0$

2 Calcula el valor de $k$ para que las rectas $r: x + 2y - 3 = 0$ , y $s : x - ky + 4 = 0$ sean paralelas. Asimiso, encuentra el valor de $k$ , pero ahora paras que las rectas sean perpendiculares.

Solución: Tenemos que las pendientes de las rectas son

$\displaystyle m_r = -\frac{1}{2}, \qquad m_s = \frac{1}{k}$

De este modo, si queremos que las rectas sean paralelas, debemos tener que

$\displaystyle -\frac{1}{2} = \frac{1}{k}$

Que al despejar, obtenemos

$\displaystyle k = -2$

Por otro lado, si deseamos que las rectas sean perpendiculares, entonces,

$\displaystyle m_r \cdot m_s = -1$

Es decir,

$\displaystyle -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{k} = -1$

Que al despejar, tenemos que

$\displaystyle k = \frac{1}{2}$

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Liceo Pedro Antonio Frías (Matemáticas)

Partes de la Geometría 1RO

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Rectas paralelas y perpendiculares

Rectas paralelas

Rectas perpendiculares

Ejemplos de problemas con rectas paralelas y perpendiculares

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